Simulation stochastique, méthode de Monte-Carlo
M2 class for Mathematics students of Master Mathématiques et applications Probabilités et statistiques appliquées (PSA) at université de Lorraine
Type: CM+TD+TP
Academic year: 25/26
Semester: S2
Language: French
Date limite DM 4 : 04/03 à 19h00.
Textes de référence
- A. Lejay, Notes du cours simulation stocastique et méthode Monte-Carlo, Master Mathématiques et Applications, Université de Lorraine
- S.E. Schreve, Stochastic Calculus for Finance II: Continous-Time Models, Springer-Verlag New York, 2004 lien
- D. Lamberton et B. Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Ellipses, Édition Marketing, Paris lien
Tableau de bord
| Leçon n° | Date | Sujet |
|---|---|---|
| 1 | 23.01 | 1. Bases de modélisation en temps discret : prix, variation, rendement, log-rendement pour une période générique. Propriétés du log-rendement (avec exos). 2. Modèles d’accroissements indépendants, estimateurs usuels. Analyse des données : Q-Q plot et sa justification théorique. 3. Rappels sur les variables gaussiennes, Théorème de Wick (avec preuve), modèle de log-rendements gaussiens, comportement sous espérance conditionnelle. Rentabilité, volatilité dans le cas gaussien + exercice. 4. Déscription du devoir maison. 5. Strategies de couverture (début). |
| 2 | 06.02 | 1. Capitalisation et actualisation en temps discret et continu (avec deux exos). 2. Modèle de marché et ses hypothèses. Enoncé du premier exo du DM 2. 3. Définition d’arbitrage, de marché viable et de processus prévisible. Enoncé du deuxième exo du DM 2. 4. Options européennes, deduction détaillée de la formule de Black & Scholes. Correction du DM 1. |
| 3 | 13.02 | 1. Simulation de grands échantillons gaussiens standard iid : méthode de Box-Muller vs méthodes de rejection. 2. Implémentation numérique d’un simulateur du mouvement brownien géométrique. 3. Correction du premier exo du DM 2. Exercices : équivalent discret du théorème de Girsanov pour le modèle log-normal; martingale sous la mesure risque-neutre. 4. Calcul explicite de la variance du prix et de la variance du payoff d’une option européenne de type call. DM 3 : comparer ces formules aux estimations empiriques d’après le point 2. 5. Exercice sur loi et fourchette à 95 % du prix à six mois, avec calcul du prix de 4 contrats de type call sur ce prix (réfléchir au cas put en DM). |
| 4 | 20.02 | 1. Rappels sur la mesure risque-neutre et le pricing, portefeuille répliquant et auto-finançant, stratégie, avec exo. 2. Modèle binomial : définition, rendements possibles, construction de la mesure risque-neutre. Deux exercices et formulation du DM 4. 3. Option digitale sur un actif qui évolue selon un modèle binomial : arbre des prix, de la valeur du portefeuille et de la stratégie. 4. Modèle de Cox-Ross-Rubinstein, convergence vers Black-Scholes. |